Тема с наибольшим числом заданий — как раз тригонометрия
Если вы готовитесь приехать в Китай учиться на бакалавриате, CSCA по математике — этап, который не обойти, и тригонометрия — его весомая часть.
Официальная программа относит тригонометрию к «основным элементарным функциям» в модуле «Функции». То есть тригонометрия — не отдельный изолированный блок знаний: её проверяют вместе с функциями, поэтому и учить её нужно как функцию.
Мы разобрали 7 вариантов прошлых экзаменов — всего 333 задания. Методика простая: каждое задание отнесли к одному пункту по основному проверяемому знанию. Результат: 9 тем, связанных с тригонометрией, вместе дают 71 задание — около 21%, то есть примерно каждое пятое задание посвящено тригонометрии.
Ещё важнее другое: одна только тема «Определение тригонометрических функций и соотношения между ними» даёт 36 заданий — это самая многочисленная тема среди всех 333 заданий, и она встречается во всех 7 вариантах. Для международного студента это баллы, которые обязательно нужно забрать.
Сколько заданий приходится на каждую из 9 тем
Ниже — по убыванию числа заданий; в скобках указано, в скольких из 7 вариантов встречалась тема. Посмотрев на этот порядок, вы поймёте, на что тратить время в первую очередь.
- Определение тригонометрических функций и соотношения между ними: 36 заданий, во всех 7 вариантах
- Графики и свойства синуса и косинуса: 10 заданий, во всех 7 вариантах
- Формулы приведения: 7 заданий, в 6 вариантах
- Формулы двойного угла для синуса, косинуса и тангенса: 7 заданий, в 6 вариантах
- Графики и свойства тангенса и котангенса: 5 заданий, в 4 вариантах
- Формулы половинного угла для синуса, косинуса и тангенса: 5 заданий, в 3 вариантах
- Формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение: 1 задание, в 1 варианте
- Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности углов: 0 заданий
- Определение угла и радианная мера: 0 заданий
Два пояснения.
Первое: каждое задание отнесено только к одному основному пункту, поэтому числа в сумме дают ровно 71 задание — двойного счёта нет.
Второе: у «формул суммы и разности» и «радианной меры» получилось 0, но это не значит, что их не нужно учить: задания, где они используются, отнесены к другим темам. Самый типичный пример — формула двойного угла: cos2α = cos²α − sin²α выводится как раз из формулы суммы. Если не понимать формулу суммы, двойной угол останется только зубрить, и при малейшем изменении условия вы будете ошибаться. Так что эти две темы учить всё равно нужно — просто не нужно прорешивать по ним столько заданий, сколько по «определению и соотношениям».
Что нужно выучить наизусть
Этот раздел — список, который можно взять и учить. Формулы записаны простым текстом: перепишите их на бумагу и просматривайте раз в день.
Значения особых углов
- sin30° = 1/2, cos30° = √3/2
- sin45° = cos45° = √2/2
- sin60° = √3/2, cos60° = 1/2
- tan45° = 1
На экзамене нельзя пользоваться калькулятором, поэтому эти значения нужно знать назубок, а не выводить на месте.
Соотношения между функциями одного угла
- sin²α + cos²α = 1
- tanα = sinα / cosα
Это ядро темы «определение и соотношения».
Перевод в радианы
- 180° = π радиан
Формулы приведения
Мнемоническое правило: «нечётное меняется, чётное не меняется, знак смотрим по четверти». Два примера:
- sin(π − α) = sinα
- cos(π − α) = −cosα
Сначала разберитесь на этих двух примерах, что означает правило, а потом распространите его на остальные углы.
Формулы двойного угла
- sin2α = 2sinα·cosα
- cos2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
У cos2α три записи — на экзамене выбирайте ту, которая удобнее при данных в условии.
Графики и свойства
- период синуса и косинуса равен 2π, область значений [−1, 1]
- наименьший положительный период y = A·sin(ωx + φ) равен 2π/|ω|
Как тренироваться
Выучить — не значит уметь решать. Тренируйтесь по порядку.
- Сначала доведите «определение и соотношения» до автоматизма. Даны sinα и четверть, в которой лежит угол, — найти cosα и tanα: это базовое упражнение темы. Доведите до состояния, когда вы начинаете писать сразу, не вспоминая формулы.
- Затем графики и свойства: период, наибольшее и наименьшее значения, промежутки монотонности. Заданий немного (10), но они есть во всех 7 вариантах — их стоит взять.
- В конце — преобразования формул: формулы приведения, двойной угол, половинный угол. Половинный угол встречался только в 3 вариантах, его можно отложить напоследок, но полностью пропускать не стоит.
И ещё одну привычку стоит выработать заранее: на экзамене нельзя пользоваться калькулятором. Поэтому значения особых углов запоминайте не нажатиями клавиш, а многократным письмом и проговариванием, пока они не станут рефлексом.
Что дальше
Прочитав эту статью, не спешите заучивать все формулы сразу. Сначала пройдите 15-минутную диагностику и посмотрите, как у вас с тригонометрией: хромает определение и соотношения, забываются свойства графиков или ошибки в преобразованиях формул.
После диагностики переходите в учебный центр и прорабатывайте темы по одной: сначала «определение и соотношения», затем графики и свойства, и только потом преобразования формул.