ส่วนนี้สอบกี่ข้อ
โมดูล "เรขาคณิตและพีชคณิต" ในหลักสูตรข้อสอบทางการ (官方大纲)ประกอบด้วยสองส่วน คือเวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อน โดยวัดการดำเนินการของเวกเตอร์และการดำเนินการพื้นฐานสี่อย่างของจำนวนเชิงซ้อน
เรานับข้อสอบจริง 7 ชุด รวม 333 ข้อ (แต่ละข้อจัดเข้าเป็นความรู้หนึ่งจุดตามจุดสอบหลัก) ในจำนวนนี้ จำนวนเชิงซ้อนและเวกเตอร์บนระนาบมี 6 จุดความรู้ รวม 19 ข้อ คิดเป็นประมาณ 6%
- จำนวนเชิงซ้อน: การดำเนินการพื้นฐานสี่อย่างของจำนวนเชิงซ้อน 6 ข้อ (เคยออกใน 6 จาก 7 ชุด), นิยามของจำนวนเชิงซ้อน 3 ข้อ (เคยออกใน 2 ชุด)
- เวกเตอร์บนระนาบ: การดำเนินการเชิงเส้น 4 ข้อ (เคยออกใน 4 ชุด), พิกัดและการดำเนินการ 4 ข้อ (เคยออกใน 3 ชุด), มโนทัศน์ 1 ข้อ, ผลคูณเชิงสเกลาร์ 1 ข้อ
จำนวนข้อไม่มาก ปริมาณการคำนวณก็ไม่มาก รูปแบบคงที่ ใครทำได้ก็เป็นคะแนนที่มั่นคง
จำนวนเชิงซ้อน: เริ่มจากข้อเหล่านี้
นิยาม
- i² = −1
- จำนวนเชิงซ้อน z = a + bi โดยที่ a คือส่วนจริง และ b คือส่วนจินตภาพ
- เมื่อ b ≠ 0, z เป็นจำนวนจินตภาพ; เมื่อ a = 0 และ b ≠ 0, z เป็นจำนวนจินตภาพแท้
การตัดสินว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนจริง จำนวนจินตภาพ หรือจำนวนจินตภาพแท้ ดูแค่ส่วนจริงและส่วนจินตภาพก็เพียงพอ ไม่ต้องคำนวณซับซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนสังยุค
จำนวนเชิงซ้อนสังยุคของ a + bi คือ a − bi: ส่วนจริงคงเดิม ส่วนจินตภาพเปลี่ยนเครื่องหมาย
การดำเนินการพื้นฐานสี่อย่าง
- การคูณ: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- การหาร: คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของตัวส่วน
ขั้นตอนสำคัญของการหาร: ขอเพียงตัวส่วนมีจำนวนจินตภาพ ให้ทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนจริงก่อน แล้วจึงจัดรูปให้ง่าย
ตัวอย่าง
- (1 + i)² = 2i
- (1 + i)/(1 − i) = i
มอดุลัส
|a + bi| = √(a² + b²)
มอดุลัสแทนความยาว ผลลัพธ์ต้องเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ
เวกเตอร์บนระนาบ: เริ่มจากข้อเหล่านี้
กำหนดให้ a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)
การดำเนินการเชิงเส้น
- การบวกและลบ: a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
- การคูณด้วยสเกลาร์: λa = (λx₁, λy₁)
การดำเนินการกับพิกัดก็คือบวก ลบ คูณตัวเลขที่ตรงกันในแต่ละตำแหน่งตามลำดับ
ผลคูณเชิงสเกลาร์
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
คำนวณผลคูณเชิงสเกลาร์ด้วยพิกัดได้เร็วที่สุด: เอาพิกัดแนวนอนคูณพิกัดแนวนอน เอาพิกัดแนวตั้งคูณพิกัดแนวตั้ง แล้วนำมาบวกกัน
มอดุลัส
|a| = √(x₁² + y₁²)
การขนานและการตั้งฉาก
- ตั้งฉาก: a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- ขนาน: a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
ต้องแยกเงื่อนไขสองข้อนี้ให้ชัด: ตั้งฉากดูว่าผลคูณเชิงสเกลาร์เป็น 0 หรือไม่ ส่วนขนานดูว่าผลต่างของการคูณไขว้เป็น 0 หรือไม่
คำแนะนำในการทบทวน
- การดำเนินการสี่อย่างของจำนวนเชิงซ้อนเคยออกใน 6 จาก 7 ชุด จึงเป็นเนื้อหาที่ควรเก็บก่อน สามขั้นตอนที่ต้องฝึกให้คล่องก่อนคือ i² = −1, การกระจายการคูณ และการคูณตัวส่วนด้วยจำนวนเชิงซ้อนสังยุค
- เวกเตอร์ให้เข้าใจการดำเนินการกับพิกัดก่อน แล้วจึงเข้าใจความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการเชิงเส้น (กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎรูปสามเหลี่ยม) การดำเนินการกับพิกัดเก็บคะแนนง่าย ส่วนความหมายเชิงเรขาคณิตช่วยให้เข้าใจว่าโจทย์ถามอะไร
- แต่ละข้อในส่วนนี้คำนวณสั้น เหมาะที่จะทำอย่างรวดเร็วในรอบแรกของการสอบ แล้วเก็บเวลาไว้ให้ข้อที่ยาก
สำหรับนักศึกษาต่างชาติ ส่วนนี้มีเนื้อหาข้อความน้อย สูตรคงที่ จึงเป็นโมดูลเล็กที่เหมาะใช้สร้างความมั่นใจ
ขั้นต่อไป
ลองทำแบบทดสอบวินิจฉัย 15 นาทีก่อน แล้วไปที่ศูนย์การเรียนรู้เพื่อฝึกจุดความรู้เหล่านี้ทีละจุดให้คล่อง