Phần này thi bao nhiêu câu
Mô-đun “Hình học và Đại số” trong đề cương chính thức gồm hai phần vectơ và số phức, kiểm tra các phép toán với vectơ và bốn phép tính với số phức.
Chúng tôi đã thống kê 7 đề thi thật, tổng cộng 333 câu (mỗi câu được xếp vào một điểm kiến thức theo trọng tâm chính). Trong đó, số phức và vectơ phẳng gồm 6 điểm kiến thức, 19 câu, chiếm khoảng 6%.
- Số phức: bốn phép tính với số phức 6 câu (6 trong 7 đề đã ra), định nghĩa số phức 3 câu (2 đề đã ra)
- Vectơ phẳng: phép toán tuyến tính 4 câu (4 đề đã ra), tọa độ và các phép toán 4 câu (3 đề đã ra), khái niệm 1 câu, tích vô hướng 1 câu
Số câu không nhiều, khối lượng tính toán cũng nhỏ, quy luật cố định, nắm được là có điểm ổn định.
Số phức: học trước những điều này
Định nghĩa
- i² = −1
- Số phức z = a + bi, trong đó a là phần thực, b là phần ảo
- Khi b ≠ 0, z là số ảo; khi a = 0 và b ≠ 0, z là số thuần ảo
Để xét một số là số thực, số ảo hay số thuần ảo, chỉ cần nhìn phần thực và phần ảo là đủ, không cần tính toán phức tạp.
Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của a + bi là a − bi: phần thực giữ nguyên, phần ảo đổi dấu.
Bốn phép tính
- Phép nhân: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Phép chia: nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu
Bước then chốt của phép chia: hễ mẫu có chứa số ảo thì trước hết đưa mẫu về số thực, rồi mới rút gọn.
Ví dụ
- (1 + i)² = 2i
- (1 + i)/(1 − i) = i
Mô-đun
|a + bi| = √(a² + b²)
Mô-đun biểu thị một độ dài, kết quả luôn là số thực không âm.
Vectơ phẳng: học trước những điều này
Cho a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂).
Phép toán tuyến tính
- Cộng trừ: a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
- Nhân với số: λa = (λx₁, λy₁)
Phép toán tọa độ chỉ là cộng trừ, nhân theo từng vị trí tương ứng của các số.
Tích vô hướng
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
Dùng tọa độ để tính tích vô hướng là nhanh nhất: hoành độ nhân hoành độ, tung độ nhân tung độ, rồi cộng lại.
Mô-đun
|a| = √(x₁² + y₁²)
Song song và vuông góc
- Vuông góc: a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- Song song: a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Hai điều kiện này phải phân biệt rõ: vuông góc xét tích vô hướng có bằng 0 hay không, song song xét hiệu của tích nhân chéo có bằng 0 hay không.
Gợi ý ôn tập
- Bốn phép tính với số phức đã ra trong 6 trên 7 đề, là nội dung nên nắm chắc đầu tiên. Trước hết luyện cho thành thạo ba bước: i² = −1, khai triển phép nhân, nhân mẫu với số phức liên hợp.
- Với vectơ, nắm phép toán tọa độ trước, rồi hiểu ý nghĩa hình học của phép toán tuyến tính (quy tắc hình bình hành, quy tắc tam giác). Phép toán tọa độ dễ ghi điểm, còn ý nghĩa hình học giúp hiểu đề bài đang hỏi gì.
- Mỗi câu ở phần này có khối lượng tính toán ngắn, phù hợp để làm nhanh trong vòng đầu của bài thi, dành thời gian cho câu khó.
Đối với học sinh quốc tế, phần này có lượng chữ ít, công thức cố định, là mô-đun nhỏ khá phù hợp để xây dựng sự tự tin.
Bước tiếp theo
Trước hết hãy làm bài chẩn đoán 15 phút, sau đó vào Trung tâm học tập luyện thành thạo từng điểm kiến thức này.