Vị trí của hàm số trong môn Toán CSCA
Đề cương kỳ thi Toán CSCA (phiên bản 2025) chính thức ghi rõ: bài thi Toán 60 phút, 48 câu trắc nghiệm một đáp án, điểm tối đa 100. Đề thi chia thành bốn mô-đun — tập hợp và bất đẳng thức, hàm số, hình học và đại số, xác suất và thống kê.
Trong đề cương, mô-đun “hàm số” gồm bốn nội dung: khái niệm và tính chất của hàm số (tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ…); các hàm số sơ cấp cơ bản (hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm logarit, hàm số lượng giác); dãy số; đạo hàm và giải tích sơ bộ.
Chúng tôi đã thống kê 7 đề thi thật với tổng cộng 333 câu (mỗi câu được xếp vào một kiến thức theo trọng tâm chính): mô-đun hàm số có 198 câu, chiếm 59%. Nói cách khác, hàm số là mảng lớn nhất trong bốn mô-đun, đáng để ưu tiên đầu tư thời gian.
Bài viết này chỉ nói về chương “nền tảng hàm số” ở phần đầu mô-đun hàm số: 8 kiến thức, 7 đề thi thật với tổng cộng 80 câu, chiếm khoảng 24% trong toàn bộ 333 câu. Hàm số lượng giác và dãy số, chúng tôi có bài viết riêng để trình bày.
Số câu đề thật của 8 kiến thức
Trước tiên hãy nhìn rõ “bảng trọng số” của chương này, rồi mới quyết định học gì trước:
- Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc: 23 câu, cả 7 đề đều có
- Logarit và hàm logarit: 16 câu, cả 7 đề đều có
- Khái niệm hàm số: 12 câu, cả 7 đề đều có
- Hàm số ngược: 9 câu, cả 7 đề đều có
- Tính chẵn lẻ của hàm số: 6 câu, 6 trong 7 đề đã có
- Tính đơn điệu của hàm số: 6 câu, 5 trong 7 đề đã có
- Hàm lũy thừa: 5 câu, 4 trong 7 đề đã có
- Hàm số mũ: 3 câu, 3 trong 7 đề đã có
5 kiến thức đầu đều xuất hiện trong mọi đề hoặc gần như mọi đề của 7 đề, tổng cộng 66 câu, là trọng tâm của chương này. Hàm lũy thừa và hàm số mũ có ít câu hơn, tần suất xuất hiện cũng không ổn định bằng; nhưng hàm số mũ là nền tảng để học logarit, không thể bỏ qua.
Thứ tự học gợi ý (gợi ý của người viết, không phải quy định chính thức)
Thứ tự dưới đây được sắp theo kiểu “xây móng trước, rồi mới lên tầng”, không phải quy định chính thức, bạn có thể điều chỉnh theo hoàn cảnh của mình:
- Khái niệm hàm số: trước hết làm rõ tập xác định, tập giá trị và quan hệ tương ứng, biết tìm tập xác định của hàm số đơn giản. Mọi bài tập phía sau đều dựa trên khái niệm này.
- Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc: tọa độ của điểm, khoảng cách giữa hai điểm, trung điểm. Các bài toán đồ thị phía sau đều dựa vào nó, và đây cũng là phần có nhiều câu nhất (23 câu).
- Học hàm số mũ và logarit cùng nhau: logarit là phép toán ngược của lũy thừa, học cùng nhau sẽ đỡ vất vả hơn học tách riêng. Cần nhớ kỹ các quy tắc tính logarit:
- log_a(MN) = log_a M + log_a N - log_a(M/N) = log_a M − log_a N - log_a(M^n) = n·log_a M - Kết quả thường dùng: lg2 + lg5 = 1
- Hàm số ngược: biết tìm hàm số ngược, và biết đồ thị của hàm số gốc và hàm số ngược đối xứng qua đường thẳng y = x.
- Tính đơn điệu và tính chẵn lẻ: f(−x) = f(x) là hàm số chẵn, f(−x) = −f(x) là hàm số lẻ; ngoài ra, tập xác định của cả hàm số lẻ và hàm số chẵn đều phải đối xứng qua gốc tọa độ.
- Hàm lũy thừa: nhận biết đồ thị của y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = 1/x, biết chúng đại khái trông như thế nào và đi qua những điểm đặc biệt nào.
Nếu thời gian rất gấp, hãy ưu tiên làm chắc bước 1 đến bước 3 — bốn kiến thức khái niệm hàm số, hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, logarit và hàm số mũ cộng lại là 54 câu, chiếm hơn hai phần ba trong 80 câu của chương này.
Những điều cần lưu ý trong phòng thi
- CSCA không cho phép dùng máy tính, phải tính tay được các phép tính logarit và lũy thừa, khi luyện tập bình thường cũng đừng phụ thuộc vào máy tính.
- Khi tìm tập xác định đừng bỏ sót các điều kiện giới hạn: mẫu số khác 0, biểu thức dưới căn bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 0, số của logarit lớn hơn 0.
- Đề cương còn liệt kê “đạo hàm và giải tích sơ bộ”, phần thống kê kiến thức của chúng tôi không tách riêng mục này; khi ôn tập chỉ cần theo đề cương nắm định nghĩa và ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Bước tiếp theo
Tại CSCA.PRO, bạn có thể làm trước một bài chẩn đoán 15 phút để xem mức độ nắm phần hàm số của mình, rồi vào Trung tâm học tập để học và luyện theo từng kiến thức.