問題数が最も多い知識項目は三角関数の中にある
中国の大学学部に進学しようと準備しているなら、CSCA数学は避けて通れない関門であり、三角関数はその中でも比重の大きい分野です。
公式のシラバスは三角関数を「関数」モジュールの「基本初等関数」に位置づけています。つまり三角関数は独立した単元ではなく、関数と一緒に出題されるということです。だから学ぶときから関数として理解する必要があります。
私たちは7回分の過去問、合計333題を集計しました。方法は簡単で、各問題を主要な出題ポイントごとに1つの知識項目へ分類するだけです。その結果、三角関数に関わる9つの知識項目は合計71題で、約21%、つまりほぼ5題に1題が三角関数ということになります。
さらに注目すべきは、「三角関数の定義と関係」という1つの知識項目だけで36題を占めており、333題の中で最も問題数の多い知識項目であり、しかも7回分すべての試験で出題されています。国際学生にとって、ここは必ず得点しなければならない部分です。
9つの知識項目の過去問問題数
以下は問題数の多い順に並べており、括弧内はその知識項目が7回分の過去問のうち何回分に登場したかを示します。この順番を見れば、時間をどこに先に使うべきかが分かります。
- 三角関数の定義と関係：36題、7回分すべてで出題
- 正弦関数と余弦関数のグラフと性質：10題、7回分すべてで出題
- 三角関数の誘導公式：7題、6回分で出題
- 二倍角の正弦・余弦・正接の公式：7題、6回分で出題
- 正接関数と余接関数のグラフと性質：5題、4回分で出題
- 半角の正弦・余弦・正接の公式：5題、3回分で出題
- 積和公式と和積公式：1題、1回分で出題
- 加法定理（和と差の正弦・余弦・正接の公式）：0題
- 角の定義と弧度：0題
2点説明しておきます。
第一に、各問題は主要な出題ポイントを1つだけ割り当てているので、ここの数字は合計ちょうど71題になり、二重に数えることはありません。
第二に、「加法定理」と「弧度」は集計結果が0ですが、これは学ばなくてよいという意味ではありません。これらを使う問題は他の知識項目に分類されているからです。最も典型的な例は二倍角の公式で、cos2α = cos²α − sin²α は加法定理から導かれます。加法定理を理解していなければ、二倍角は丸暗記するしかなく、問題が少し形を変えただけで間違えやすくなります。ですからこの2つも学ぶ必要はありますが、「定義と関係」ほど大量に問題を解く必要はありません。
必ず暗記すべき内容
この節はそのまま暗記に使えるリストです。公式はすべてプレーンテキストで書いているので、紙に書き写して毎日1回見てください。
特殊角の値
- sin30° = 1/2、cos30° = √3/2
- sin45° = cos45° = √2/2
- sin60° = √3/2、cos60° = 1/2
- tan45° = 1
試験では計算機を使えないので、これらの値はとっさに出てくるようにしておかなければなりません。試験場で導き出すのでは間に合いません。
同角関係
- sin²α + cos²α = 1
- tanα = sinα / cosα
これが「定義と関係」の分野の中核です。
弧度の換算
- 180° = π ラジアン
誘導公式
語呂合わせは「奇数倍なら変わり、偶数倍なら変わらず、符号は象限で決まる」です。例を2つ挙げます。
- sin(π − α) = sinα
- cos(π − α) = −cosα
まずこの2つの例で合言葉の意味を理解し、それから他の角へ広げていってください。
二倍角の公式
- sin2α = 2sinα·cosα
- cos2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
cos2αには3通りの書き方があるので、試験では問題で与えられた条件に合わせて最も使いやすい形を選びます。
グラフと性質
- 正弦関数・余弦関数の周期は2π、値域は[−1, 1]
- y = A·sin(ωx + φ) の最小正周期は 2π/|ω|
どう練習するか
暗記しただけでは解けるようになりません。順番に沿って練習しましょう。
- まず「定義と関係」を考えなくてもできるレベルまで練習します。sinαと角がどの象限にあるかが分かっている状態からcosα、tanαを求めるのが、この知識項目の基本です。問題を見たらすぐに手を動かせるようになるまで、公式を思い出す必要がないレベルにしておきます。
- 次にグラフと性質を練習します。周期、最大値と最小値、単調区間です。この部分は問題数は多くありません（10題）が、7回分すべてで出題されているので、得点しておく価値があります。
- 最後に公式の変形を練習します。誘導公式、二倍角、半角です。半角は3回分しか出題されていないので最後に回してかまいませんが、完全に飛ばしてはいけません。
もう1つ、早めに身につけておきたい習慣があります。試験では計算機を使えません。だから特殊角の値は計算機を押して覚えるのではなく、繰り返し書いて繰り返し声に出して、条件反射になるまで練習してください。
次のステップ
この記事を読み終えても、すぐにすべての公式を暗記しようとしないでください。まず15分の診断を受けて、自分の三角関数の理解度を確認することをおすすめします。定義と関係が苦手なのか、グラフと性質を覚えきれていないのか、それとも公式の変形で間違えやすいのかを見極めましょう。
診断のあとは学習センターで知識項目ごとに順番に練習してください。まず「定義と関係」を攻め、次にグラフと性質を補い、最後に公式の変形に取り組みます。