この範囲はどれくらい出るのか
公式シラバスの「幾何と代数」モジュールにはベクトルと複素数の両方が含まれ、ベクトルの演算と複素数の四則演算を問います。
私たちは過去問7回分、計333問を集計しました（各問を主な出題ポイントごとに1つの知識項目へ分類）。うち複素数と平面ベクトルは合わせて6つの知識項目、19問で、約6%を占めます。
- 複素数：複素数の四則演算6問（7回中6回で出題）、複素数の定義3問（2回で出題）
- 平面ベクトル：線形演算4問（4回で出題）、座標とその演算4問（3回で出題）、概念1問、内積1問
問題数は多くなく、計算量も小さいうえ、パターンが固定されています。身につければ安定した得点源になります。
複素数：まずこの項目から
定義
- i² = −1
- 複素数 z = a + bi（a は実部、b は虚部）
- b ≠ 0 のとき z は虚数；a = 0 かつ b ≠ 0 のとき z は純虚数
ある数が実数・虚数・純虚数のどれかを判断するときは、実部と虚部だけを見ればよく、複雑な計算は要りません。
共役複素数
a + bi の共役複素数は a − bi：実部はそのまま、虚部は符号が変わります。
四則演算
- 乗法：(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- 除法：分子と分母に分母の共役複素数を掛ける
除法のポイントは1つだけ：分母に虚数が含まれていたら、まず分母を実数にしてから整理します。
例
- (1 + i)² = 2i
- (1 + i)/(1 − i) = i
絶対値
|a + bi| = √(a² + b²)
絶対値は長さを表し、結果は必ず0以上の実数になります。
平面ベクトル：まずこの項目から
a = (x₁, y₁)、b = (x₂, y₂) とします。
線形演算
- 加法・減法：a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
- スカラー倍：λa = (λx₁, λy₁)
座標の演算は、対応する成分どうしを足し引きし、掛けるだけで済みます。
内積
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
座標で内積を計算するのが一番速い方法です：x座標どうしを掛け、y座標どうしを掛けて、足します。
絶対値
|a| = √(x₁² + y₁²)
平行と垂直
- 垂直：a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- 平行：a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
この2つの判定条件は区別しましょう：垂直は内積が0かどうか、平行はたすき掛けの差が0かどうかを見ます。
復習のすすめ
- 複素数の四則演算は7回中6回で出題されており、最も先に身につけるべき内容です。まず i² = −1、乗法の展開、分母に共役複素数を掛ける、の3ステップを練習しましょう。
- ベクトルはまず座標演算を押さえ、そのうえで線形演算の幾何的な意味（平行四辺形の法則、三角形の法則）を理解します。座標演算は得点しやすく、幾何的な意味は問題が何を聞いているかの理解に役立ちます。
- この範囲は1問あたりの計算が短いので、試験の1周目で素早く終わらせ、時間を難しい問題に残すのに向いています。
国際学生にとって、この範囲は文章量が少なく公式も固定されているため、自信をつけるのに向いた小さな単元です。
次のステップ
まず15分間の診断を受け、次に学習センターでこれらの知識項目を1つずつ練習しましょう。