Combien de questions cette partie représente-t-elle
Le module « géométrie et algèbre » du programme officiel comprend deux parties, les vecteurs et les nombres complexes, et porte sur les opérations vectorielles et sur les quatre opérations avec les nombres complexes.
Nous avons recensé 7 sujets d'annales, soit 333 questions au total (chaque question est classée dans un point de connaissance selon son thème principal). Parmi elles, les nombres complexes et les vecteurs du plan couvrent 6 points de connaissance et 19 questions, soit environ 6 %.
- Nombres complexes : les quatre opérations sur les nombres complexes, 6 questions (présentes dans 6 des 7 sujets) ; la définition des nombres complexes, 3 questions (dans 2 sujets)
- Vecteurs du plan : opérations linéaires, 4 questions (dans 4 sujets) ; coordonnées et opérations, 4 questions (dans 3 sujets) ; notions, 1 question ; produit scalaire, 1 question
Le nombre de questions est modeste, les calculs sont courts et les schémas de questions sont toujours les mêmes : une fois maîtrisé, c'est une source de points fiable.
Nombres complexes : commencez par ces points
Définition
- i² = −1
- Nombre complexe z = a + bi, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire
- Lorsque b ≠ 0, z est un nombre imaginaire ; lorsque a = 0 et b ≠ 0, z est un imaginaire pur
Pour dire si un nombre est réel, imaginaire ou imaginaire pur, il suffit de regarder la partie réelle et la partie imaginaire, sans calcul compliqué.
Conjugué
Le conjugué de a + bi est a − bi : la partie réelle ne change pas, la partie imaginaire change de signe.
Les quatre opérations
- Multiplication : (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Division : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur
L'étape clé de la division : dès que le dénominateur contient un imaginaire, on commence par le transformer en nombre réel, puis on simplifie.
Exemples
- (1 + i)² = 2i
- (1 + i)/(1 − i) = i
Module
|a + bi| = √(a² + b²)
Le module représente une longueur ; le résultat est toujours un nombre réel non négatif.
Vecteurs du plan : commencez par ces points
Soit a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂).
Opérations linéaires
- Addition et soustraction : a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
- Multiplication par un scalaire : λa = (λx₁, λy₁)
Le calcul sur les coordonnées consiste simplement à additionner, soustraire ou multiplier les nombres correspondants, coordonnée par coordonnée.
Produit scalaire
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
Le calcul du produit scalaire avec les coordonnées est le plus rapide : abscisse fois abscisse, ordonnée fois ordonnée, puis on additionne.
Module
|a| = √(x₁² + y₁²)
Parallélisme et perpendicularité
- Perpendicularité : a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- Parallélisme : a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Il faut bien distinguer ces deux critères : pour la perpendicularité, on regarde si le produit scalaire est nul ; pour le parallélisme, si la différence des produits en croix est nulle.
Conseils de révision
- Les quatre opérations sur les nombres complexes sont tombées dans 6 des 7 sujets : c'est le contenu à maîtriser en priorité. Entraînez-vous d'abord sur trois étapes : i² = −1, le développement du produit, la multiplication du dénominateur par son conjugué.
- Pour les vecteurs, maîtrisez d'abord le calcul sur les coordonnées, puis comprenez le sens géométrique des opérations linéaires (règle du parallélogramme, règle du triangle). Le calcul sur les coordonnées rapporte facilement des points ; le sens géométrique aide à comprendre ce que la question demande.
- Dans cette partie, chaque question demande peu de calcul : elle convient à un premier passage rapide pendant l'examen, pour garder du temps pour les questions difficiles.
Pour les étudiants internationaux, cette partie contient peu de texte et des formules fixes : c'est un petit module plutôt adapté pour gagner en confiance.
Et ensuite
Commencez par le diagnostic de 15 minutes, puis entraînez-vous point par point dans l'espace d'apprentissage.