Сколько задач по этой теме
Официальная программа модуля «Геометрия и алгебра» включает аналитическую геометрию на плоскости (уравнения и свойства прямой, окружности, эллипса, гиперболы, параболы).
Мы посчитали по 7 вариантам реальных экзаменов — всего 333 задачи (каждая отнесена к одной теме по основному проверяемому понятию): модуль «Геометрия и алгебра» — 94 задачи, то есть 28%; из них 8 тем по прямым и коническим сечениям — всего 75 задач, около 23% от всех 333 задач.
Отдельно есть 23 задачи по «плоской прямоугольной системе координат» — в нашей классификации они относятся к главе «Функции» и служат основой для изучения этого материала.
Количество задач по 8 темам
- Прямая (35 задач): угол наклона и угловой коэффициент — 9 задач, уравнение прямой — 8 задач, параллельность и перпендикулярность — 12 задач, все эти три темы встречаются во всех 7 вариантах; точка пересечения — 6 задач, встречается в 6 вариантах.
- Конические сечения (40 задач): окружность — 14 задач, эллипс — 10 задач, встречаются во всех 7 вариантах; парабола — 10 задач, гипербола — 6 задач, встречаются в 6 вариантах.
Рекомендуемый порядок повторения
Повторять стоит в порядке «сначала прямая, потом конические сечения».
- Сначала прямая: угловой коэффициент k = tanθ = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); уравнение с угловым коэффициентом и точкой y − y₀ = k(x − x₀); общее уравнение Ax + By + C = 0.
- Параллельность и перпендикулярность: когда у двух несовпадающих прямых существуют оба угловых коэффициента, параллельность ⇔ k₁ = k₂, перпендикулярность ⇔ k₁·k₂ = −1.
- Расстояние от точки до прямой: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
- Окружность: (x − a)² + (y − b)² = r², центр — (a, b), радиус — r; чтобы определить взаимное расположение прямой и окружности, сравнивают расстояние d от центра до прямой с радиусом r.
- Эллипс: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0), c² = a² − b², эксцентриситет e = c/a.
- Парабола: y² = 2px (p > 0), фокус — (p/2, 0), директриса — x = −p/2.
- Гипербола: x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b², уравнения асимптот — y = ±(b/a)x.
Что легко перепутать
- У эллипса c² = a² − b², у гиперболы c² = a² + b² — не перепутайте порядок знаков.
- Вертикальную прямую, у которой угловой коэффициент не существует (x = постоянная), нужно рассматривать отдельно.
- Сначала определите, какой кривой соответствует уравнение и на какой оси находятся фокусы, и только потом подставляйте в формулы.
Что дальше
Сначала пройдите 15-минутную диагностику, чтобы понять, насколько хорошо вы освоили этот материал, а затем переходите в учебный центр и тренируйтесь по темам.