题数最多的知识点就在三角函数里
如果你正准备来中国读本科，CSCA 数学就是绕不开的一关，而三角函数是这一关里分量很重的一块内容。
官方大纲把三角函数列在“函数”模块的“基本初等函数”里。也就是说，三角函数并非单独的一块知识；它和函数一起考，因此学的时候就要把它当成函数来理解。
我们统计了 7 套真题，共 333 道题。方法很简单：每道题按主要考点归入一个知识点。结果是，三角函数相关的 9 个知识点合计 71 题，约占 21%，也就是差不多每 5 道题里就有 1 道是三角函数。
更值得注意的是，“三角函数的定义及关系”这一个知识点就占了 36 题，是 333 道题中题数最多的知识点，而且 7 套卷子每套都考。对国际学生来说，这是一块必须拿下的分数。
9 个知识点的真题题数
下面按题数从多到少排列，括号里是这个知识点在 7 套真题里出现过几套。看清这个顺序，你就知道时间该先花在哪里。
- 三角函数的定义及关系：36 题，7 套都考
- 正弦函数和余弦函数的图像和性质：10 题，7 套都考
- 三角函数的诱导公式：7 题，6 套考过
- 二倍角的正弦、余弦和正切公式：7 题，6 套考过
- 正切函数和余切函数的图像和性质：5 题，4 套考过
- 半角的正弦、余弦和正切公式：5 题，3 套考过
- 积化和差与和差化积公式：1 题，1 套考过
- 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：0 题
- 角的定义和弧度：0 题
有两点要说明。
第一，每道题只归一个主要考点，所以这里的数字加起来正好是 71 题，不会重复计算。
第二，“两角和与差公式”和“弧度”统计出来是 0，但这不代表不用学，因为用到它们的题被归到了别的知识点里。最典型的例子是二倍角公式：cos2α = cos²α − sin²α 就是由两角和公式推导出来的。如果不理解两角和公式，二倍角就只能死记，题目一旦变形就容易出错。所以这两项仍然要学，只是不必像“定义及关系”那样刷那么多题。
必须背熟的内容
这一节是可以直接拿去背的清单。公式都用纯文本写，你可以抄在纸上，每天看一遍。
特殊角的值
- sin30° = 1/2，cos30° = √3/2
- sin45° = cos45° = √2/2
- sin60° = √3/2，cos60° = 1/2
- tan45° = 1
考试不能用计算器，所以这些值要能脱口而出，不能到考场上再推。
同角关系
- sin²α + cos²α = 1
- tanα = sinα / cosα
这是“定义及关系”这一块的核心。
弧度换算
- 180° = π 弧度
诱导公式
口诀是“奇变偶不变，符号看象限”。举两个例子：
- sin(π − α) = sinα
- cos(π − α) = −cosα
先用这两个例子把口诀的含义弄明白，再把它推到其他角上。
二倍角公式
- sin2α = 2sinα·cosα
- cos2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
cos2α 有三种写法，考试时要根据题目给的条件选最方便的一种。
图像和性质
- 正弦、余弦函数的周期是 2π，值域是 [−1, 1]
- y = A·sin(ωx + φ) 的最小正周期是 2π/|ω|
怎么练
背完不等于会做，要按顺序练。
- 先把“定义及关系”练到不用想。已知 sinα 和角所在的象限，求 cosα、tanα，这是这个知识点的基本功。练到看到题目就能动笔，不用先想公式。
- 再练图像和性质：周期、最大值与最小值、单调区间。这部分题不多（10 题），但 7 套都考，值得拿下。
- 最后练公式变形：诱导公式、二倍角、半角。半角只有 3 套考过，可以放到最后，但不要完全跳过。
还有一个习惯要提前养成：考试不能用计算器。所以特殊角的值不要靠按计算器来记，要靠反复写、反复念，直到变成条件反射。
下一步
看完这篇，先别急着背全部公式。建议先做一次15 分钟诊断，看看自己三角函数的掌握情况：是定义和关系不熟，还是图像性质记不清，或者公式变形容易错。
诊断之后，再到学习中心按知识点逐个练：先攻“定义及关系”，再补图像和性质，最后处理公式变形。