Вес функций в математике CSCA
В официальной «Программе экзамена CSCA по математике (редакция 2025 года)» указано: экзамен по математике длится 60 минут, содержит 48 заданий с выбором одного ответа, максимальный балл — 100. Экзаменационная работа делится на четыре модуля — множества и неравенства, функции, геометрия и алгебра, вероятность и статистика.
В программе модуль «Функции» включает четыре пункта: понятие и свойства функции (область определения, область значений, монотонность, чётность и нечётность и т. д.); основные элементарные функции (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические); числовые последовательности; производная и начальные сведения о математическом анализе.
Мы проанализировали 7 реальных вариантов — всего 333 задания (каждое задание отнесено к одной теме по основному проверяемому понятию): модуль функций — 198 заданий, то есть 59%. Иными словами, функции — самая крупная часть из четырёх модулей, и на неё стоит потратить время в первую очередь.
В этой статье речь только о самой первой главе модуля функций — «Основах функций»: 8 тем, 80 заданий из 7 реальных вариантов, около 24% от всех 333 заданий. Тригонометрическим функциям и последовательностям у нас посвящены отдельные статьи.
Сколько заданий приходится на 8 тем
Сначала посмотрите на «таблицу веса» этой главы, а потом решайте, что учить первым:
- Декартова система координат на плоскости: 23 задания, встречается во всех 7 вариантах
- Логарифмы и логарифмическая функция: 16 заданий, во всех 7 вариантах
- Понятие функции: 12 заданий, во всех 7 вариантах
- Обратная функция: 9 заданий, во всех 7 вариантах
- Чётность и нечётность функции: 6 заданий, встречается в 6 из 7 вариантов
- Монотонность функции: 6 заданий, встречается в 5 из 7 вариантов
- Степенная функция: 5 заданий, встречается в 4 из 7 вариантов
- Показательная функция: 3 задания, встречается в 3 из 7 вариантов
Первые 5 тем встречаются в каждом варианте из 7 или почти в каждом, в сумме это 66 заданий — главное в этой главе. Заданий по степенной и показательной функциям меньше, и появляются они не так стабильно; но показательная функция — основа для изучения логарифмов, её нельзя пропускать.
Рекомендуемый порядок изучения (рекомендация автора, а не официальное правило)
Порядок ниже построен по принципу «сначала фундамент, потом всё остальное»; это не официальное правило, вы можете подстроить его под себя:
- Понятие функции: сначала разберитесь с областью определения, областью значений и правилом соответствия, научитесь находить область определения простых функций. Все следующие задания опираются на это понятие.
- Декартова система координат на плоскости: координаты точки, расстояние между двумя точками, середина отрезка. Все последующие задания с графиками держатся на этом, и заданий здесь больше всего (23).
- Показательная и логарифмическая функции — вместе: логарифм — это обратная операция к возведению в степень, учить их вместе легче, чем по отдельности. Свойства логарифмов нужно помнить твёрдо:
- log_a(MN) = log_a M + log_a N - log_a(M/N) = log_a M − log_a N - log_a(M^n) = n·log_a M - Часто используемый результат: lg2 + lg5 = 1
- Обратная функция: уметь находить обратную функцию и знать, что графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой y = x.
- Монотонность и чётность: f(−x) = f(x) — чётная функция, f(−x) = −f(x) — нечётная функция; кроме того, области определения и чётной, и нечётной функции должны быть симметричны относительно начала координат.
- Степенная функция: узнавать графики y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = 1/x, знать, как они примерно выглядят и через какие особые точки проходят.
Если времени очень мало, в первую очередь прочно освойте шаги с 1-го по 3-й — понятие функции, декартова система координат, логарифмы и показательная функция вместе дают 54 задания, более двух третей от 80 заданий этой главы.
На что обратить внимание на экзамене
- На CSCA пользоваться калькулятором запрещено, вычисления с логарифмами и степенями нужно делать вручную — и при обычной подготовке не полагайтесь на калькулятор.
- При нахождении области определения не пропускайте ограничения: знаменатель не равен 0, под корнем чётной степени выражение больше или равно 0, аргумент логарифма больше 0.
- В программе также указана тема «производная и начальные сведения о математическом анализе»; в нашей статистике тем она отдельно не выделена. При повторении достаточно, как требует программа, разобраться с определением производной и её геометрическим смыслом.
Что дальше
На CSCA.PRO вы можете сначала пройти 15-минутную диагностику, чтобы понять, как у вас обстоят дела с разделом функций, а затем в учебном центре изучать темы и тренироваться по ним.