Сколько заданий в этой части
Модуль «Геометрия и алгебра» официальной программы включает два раздела: векторы и комплексные числа. Проверяются операции с векторами и четыре арифметических действия с комплексными числами.
Мы разобрали 7 вариантов реальных заданий — всего 333 задания (каждое задание отнесено к одному пункту знаний по его основной проверяемой теме). Из них комплексные числа и векторы на плоскости — это 6 пунктов и 19 заданий, около 6%.
- Комплексные числа: четыре арифметических действия — 6 заданий (встречались в 6 из 7 вариантов), определение комплексного числа — 3 задания (встречались в 2 вариантах)
- Векторы на плоскости: линейные операции — 4 задания (встречались в 4 вариантах), координаты и операции с ними — 4 задания (встречались в 3 вариантах), понятие — 1 задание, скалярное произведение — 1 задание
Заданий немного, объём вычислений тоже небольшой, закономерности устойчивые: освоите — получите стабильные баллы.
Комплексные числа: с чего начать
Определение
- i² = −1
- Комплексное число z = a + bi, где a — действительная часть, b — мнимая часть
- При b ≠ 0 число z является мнимым; при a = 0 и b ≠ 0 число z является чисто мнимым
Чтобы определить, является число действительным, мнимым или чисто мнимым, достаточно посмотреть на действительную и мнимую части — сложных вычислений не нужно.
Сопряжённое число
Сопряжённое к a + bi — это a − bi: действительная часть не меняется, мнимая часть меняет знак.
Четыре арифметических действия
- Умножение: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Деление: числитель и знаменатель умножаем на сопряжённое к знаменателю
Ключевой шаг при делении: если знаменатель содержит мнимую часть, сначала сделайте знаменатель действительным числом, а потом упрощайте.
Примеры
- (1 + i)² = 2i
- (1 + i)/(1 − i) = i
Модуль
|a + bi| = √(a² + b²)
Модуль означает длину, поэтому результат всегда неотрицательное действительное число.
Векторы на плоскости: с чего начать
Пусть a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂).
Линейные операции
- Сложение и вычитание: a ± b = (x₁ ± x₂, y₁ ± y₂)
- Умножение на число: λa = (λx₁, λy₁)
Координатные операции — это просто покомпонентное сложение, вычитание и умножение соответствующих чисел.
Скалярное произведение
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
Считать скалярное произведение по координатам быстрее всего: абсциссу умножить на абсциссу, ординату на ординату, а потом сложить.
Модуль
|a| = √(x₁² + y₁²)
Параллельность и перпендикулярность
- Перпендикулярность: a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
- Параллельность: a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
Эти два условия нужно различать: при перпендикулярности смотрим, равен ли нулю результат скалярного произведения, при параллельности — равна ли нулю разность перекрёстных произведений.
Советы по повторению
- Четыре арифметических действия с комплексными числами встречались в 6 из 7 вариантов — это первое, что стоит освоить. Отработайте до автоматизма три шага: i² = −1, раскрытие произведения, умножение на сопряжённое к знаменателю.
- С векторами сначала освойте координатные операции, а затем разберитесь в геометрическом смысле линейных операций (правило параллелограмма, правило треугольника). Координатные операции приносят баллы легко, а геометрический смысл помогает понять, о чём спрашивают в задаче.
- В каждом задании этой части вычисления короткие, поэтому её удобно быстро пройти в первом круге экзамена, оставив время на сложные задачи.
Для международных студентов эта часть удобна тем, что текста в ней мало, а формулы фиксированные — хороший маленький модуль, чтобы поверить в свои силы.
Что дальше
Сначала пройдите 15-минутную диагностику, затем в учебном центре отработайте эти пункты по одному до автоматизма.