Дараалал CSCA математикт эзлэх байр
CSCA математикийн албан ёсны хөтөлбөр дарааллыг "функц" модульд хамааруулж, "арифметик прогресс, геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо ба нийлбэр"-ийг тодорхой шалгахаар заасан. Эндээс үзэхэд дараалал нь тархай жижиг шалгах цэг биш, харин хүрээ нь тодорхой, төвлөрч бэлдэхэд тохиромжтой хэсэг юм.
Бид 7 багц өмнөх шалгалтын даалгаврыг нийт 333 бодлогыг тоолж, бодлого бүрийг үндсэн шалгах цэгээр нь нэг мэдлэгийн цэгт хамааруулсан. Үр дүн нь дараах байдалтай:
- Дараалалтай холбоотой 3 мэдлэгийн цэг нийт 47 бодлогод тохиолдсон нь бүх бодлогын ойролцоогоор 14%;
- Эдгээр 3 мэдлэгийн цэг 7 багц хуудсаар тус бүрд нь шалгагдсан, нэг ч удаа орхигдоогүй;
- Үүнээс арифметик прогресс 21 бодлого, дарааллын ойлголт ба холбогдох томьёо 13 бодлого, геометр прогресс 13 бодлого.
Олон улсын оюутны хувьд энэ нь хоёр зүйлийг илэрхийлнэ: нэгд, дарааллын бодлогын тоо цөөнгүй тул нухацтай бэлдэх нь зүйтэй; хоёрт, дараалал маш тогтвортой гардаг, 7 багц хуудсаар тус бүрд нь байсан.
Арифметик прогресс: заавал эзэмших дөрвөн томьёо
Арифметик прогресс бол хамгийн үндсэн хэсэг. Дараах дөрвөн томьёог бодолгүйгээр бичих хүртэл цээжлэх хэрэгтэй:
- Ерөнхий гишүүний томьёо: a_n = a_1 + (n − 1)d
- Эхний n гишүүний нийлбэр: S_n = n(a_1 + a_n)/2 = n·a_1 + n(n − 1)d/2
- Арифметик дундаж гишүүн: хэрэв a, b, c арифметик прогресс үүсгэвэл 2b = a + c
- Шинж чанар: хэрэв m + n = p + q бол a_m + a_n = a_p + a_q
Дараах энгийн жишээгээр өөрийгөө шалгаж болно: a_1 = 2, d = 3 үед a_10 = 2 + 9×3 = 29, S_10 = 10×(2 + 29)/2 = 155.
Нийлбэрийн томьёог хоёр янзаар бичиж болох ба шалгалтад бодлогын өгөгдсөн нөхцлөөс хамааран сонгоно: эхний гишүүн ба сүүлийн гишүүн өгөгдсөн бол эхнийхийг ашиглах нь илүү тохиромжтой; зөвхөн эхний гишүүн ба ялгаврыг мэдэж байвал хоёр дахь нь илүү тохиромжтой.
Геометр прогресс: заавал эзэмших дөрвөн томьёо
Геометр прогрессийн томьёоны бүтэц арифметик прогрессийнхтэй төстэй боловч үржих, хуваах ба зэрэгт онцгой анхаарах хэрэгтэй.
- Ерөнхий гишүүний томьёо: a_n = a_1·q^(n − 1)
- Эхний n гишүүний нийлбэр: q ≠ 1 үед S_n = a_1(1 − q^n)/(1 − q); q = 1 үед S_n = n·a_1
- Геометр дундаж гишүүн: хэрэв a, b, c геометр прогресс үүсгэвэл b² = ac
- Шинж чанар: хэрэв m + n = p + q бол a_m·a_n = a_p·a_q
Мөн нэг жишээгээр дасаж болно: a_1 = 3, q = 2 үед a_5 = 3×2⁴ = 48, S_5 = 3×(1 − 2⁵)/(1 − 2) = 93.
Нийлбэрийн томьёоны нөхцөлийг анхаар: q ≠ 1 ба q = 1 нь хоёр өөр тохиолдол тул хариугаа бичихээс өмнө харьцаа 1 эсэхийг тодорхойл.
Дарааллын ойлголт ба холбогдох томьёо
Арифметик прогресс, геометр прогресс гэсэн хоёр тодорхой төрлийн дарааллаас гадна дарааллын өөрийнх нь үндсэн харьцааг шалгах бодлого байдаг бөгөөд голчлон хоёр чадварыг хамарна.
Эхний n гишүүний нийлбэрээр ерөнхий гишүүнийг олох. Арга нь: a_1 = S_1; n ≥ 2 үед a_n = S_n − S_(n−1). Үр дүнг гаргасны дараа n = 1 үед мөн адил томьёо хангагдаж байгаа эсэхийг заавал шалга. Хангагдвал нэгдсэн ерөнхий гишүүний томьёо болгон бичиж болно; хангагдахгүй бол хэсэгчлэн бичих шаардлагатай.
Рекуррент харьцааг ойлгох. Бодлого нь арифметик эсвэл геометр прогресс гэдгийг шууд хэлэхгүй, харин зэрэгцэх гишүүдийн хоорондын харьцааг өгч болно. Жишээ нь a_(n+1) = a_n + 2 гэвэл гишүүн бүр өмнөхөөсөө 2-оор их байна, тиймээс энэ нь ялгавар нь 2 байх арифметик прогресс юм. Эхлээд дарааллын төрлийг таньж, дараа нь томьёог ашиглах нь энэ төрлийн бодлогын ерөнхий арга.
Алдаа гаргадаг нийтлэг цэгүүд
Дараах гурван нарийн зүйлийг урьдчилан сануулах нь хамгийн зүйтэй:
- Геометр прогрессийн нийлбэрт тохиолдлыг ялгахаа мартах. q = 1 ба q ≠ 1-д өөр томьёо хэрэглэх тул нэгийг нь орхивол бүх бодлого буруу болно.
- S_n-ээс a_n олохдоо n = 1-ийг шалгахаа мартах. a_1 = S_1-ийг тусад нь тооцож, n ≥ 2 үеийн томьёотой харьцуулж, нэгтгэж болох эсэхийг харах хэрэгтэй.
- Гишүүдийн тоог буруу тоолох. m-р гишүүнээс n-р гишүүн хүртэл нийт n − m + 1 гишүүн байна, n − m биш.
Дараагийн алхам
Дарааллын 3 мэдлэгийн цэг 7 багц хуудсаар тус бүрд нь гарсан тул тэргүүлэх ач холбогдол өндөртэй агуулгад хамаарах ба эхлээд эзэмших нь зүйтэй.
Эхлээд 15 минутын диагностик хийж, одоо ерөнхий гишүүн, нийлбэр эсвэл ойлголтын бодлогод хаана гацаж байгаагаа хар; дараа нь Сургалтын төв-д мэдлэгийн цэгээр нэг бүрчлэн дасгал хийж, томьёог эргэцүүлэлгүйгээр бичих хүртэл давт.