数列在 CSCA 数学中的分量
CSCA 数学官方大纲将数列归入“函数”模块，并明确考查“等差数列、等比数列的通项公式及求和”。可见，数列并非零散的小考点，而是一个范围明确、便于集中准备的部分。
我们统计了 7 套真题，共 333 道题，并按主要考点将每道题归入一个知识点。结果如下：
- 与数列相关的 3 个知识点共出现 47 题，约占全部题目的 14%；
- 这 3 个知识点在 7 套试卷中每套都有考查，无一缺席；
- 其中，等差数列 21 题，数列的概念及相关公式 13 题，等比数列 13 题。
对国际学生而言，这意味着两点：第一，数列题量不小，值得认真准备；第二，数列出现得很稳定，7 套真题每套都有。
等差数列：必须掌握的四个公式
等差数列是最基础的部分。以下四个公式要熟到不假思索就能写出：
- 通项公式：a_n = a_1 + (n − 1)d
- 前 n 项和：S_n = n(a_1 + a_n)/2 = n·a_1 + n(n − 1)d/2
- 等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 2b = a + c
- 性质：若 m + n = p + q，则 a_m + a_n = a_p + a_q
可用一个简单例子检查自己是否会运用：当 a_1 = 2，d = 3 时，a_10 = 2 + 9×3 = 29，S_10 = 10×(2 + 29)/2 = 155。
求和公式有两种写法，考试时可根据题目给出的条件选择：已知首项和末项，用前一种更方便；只知道首项和公差，用后一种更顺手。
等比数列：必须掌握的四个公式
等比数列的公式结构与等差数列相似，但要特别注意乘除和指数。
- 通项公式：a_n = a_1·q^(n − 1)
- 前 n 项和：q ≠ 1 时，S_n = a_1(1 − q^n)/(1 − q)；q = 1 时，S_n = n·a_1
- 等比中项：若 a、b、c 成等比数列，则 b² = ac
- 性质：若 m + n = p + q，则 a_m·a_n = a_p·a_q
同样用一个例子来熟悉：当 a_1 = 3，q = 2 时，a_5 = 3×2⁴ = 48，S_5 = 3×(1 − 2⁵)/(1 − 2) = 93。
注意求和公式中的条件：q ≠ 1 和 q = 1 是两种不同情况，写答案前先判断公比是否为 1。
数列的概念和相关公式
除了等差数列、等比数列这两类具体数列，还有一部分题考查数列本身的基本关系，主要涉及两类能力。
由前 n 项和求通项。 方法是：a_1 = S_1；当 n ≥ 2 时，a_n = S_n − S_(n−1)。算出结果后，一定要检查 n = 1 时是否也满足同一式子。若满足，可写成统一的通项公式；若不满足，则需分段写。
看懂递推关系。 题目可能不会直接告诉你是等差数列还是等比数列，而是给出相邻项之间的关系。例如 a_(n+1) = a_n + 2，说明每一项都比前一项多 2，因此这是一个公差为 2 的等差数列。先认出数列类型，再套用公式，是这类题的通用思路。
常见失分点
以下三个细节最值得提前提醒自己：
- 等比数列求和忘记分情况。 q = 1 和 q ≠ 1 要用不同公式，漏掉一种就会导致整题出错。
- 由 S_n 求 a_n 时忘记检验 n = 1。 a_1 = S_1 要单独计算，再与 n ≥ 2 的式子对照，看能否合并。
- 项数数错。 从第 m 项到第 n 项，一共有 n − m + 1 项，而不是 n − m 项。
下一步
数列的 3 个知识点在 7 套真题中每套都出现，属于优先级很高的内容，值得先拿下。
可以先做一次15 分钟诊断，看看自己目前卡在通项、求和还是概念题上；然后到学习中心按知识点逐个练习，把公式练到无需回想为止。